Potens

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Potenstal)
Hoppa till: navigering, sök
Matematiska operationer
Addition (+)
addend + addend = summa
Subtraktion (−)
minuend − subtrahend = differens
Multiplikation (×)
multiplikand × multiplikator = produkt
Division (÷)
dividend ÷ divisor = kvot
Exponentiering
basexponent = potens
n:te roten (√)
gradradikand = rot
Logaritm (log)
logbas(potens) = exponent
För den medicinska betydelsen, se Impotens.

En potens kallas ett uttryck av typen 4^5 där 4 är basen och 5 är exponenten, och utläses "fyra upphöjt till fem". Mer generellt är uttryck på formen a^b potensuttryck. Operationen att "upphöja" kallas exponentiering. I sammanhang där det är typografiskt omöjligt att skriva upphöjda siffror, liksom i programmeringssammanhang och på många miniräknare, förekommer även skrivsättet a^b.

Definitioner[redigera | redigera wikitext]

I sin enklaste form (som tidigare kallades dignitet) definierar man potenser som resultatet av upprepad multiplikation. Exempelvis, 43 (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64.

I den här definitionen förutsätts att exponenten är ett positivt heltal.

Potenslagarna[redigera | redigera wikitext]

Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent kan man härleda följande räkneregler, potenslagarna:

  • {(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n
  • { \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m}
  • x^m \cdot x^n = x^{m+n}
  • {x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0)
  • {(x^m)}^n = x^{m \cdot n}

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

Utvidgning för alla heltal[redigera | redigera wikitext]

Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal följer av den näst sista potenslagen ovan att

  • a0 = 1 (om a ≠ 0) om m = n. Exempel: 20 = 1 (läs mer under tom produkt)
  • an = 1 / an (om a ≠ 0) om m < n. Exempel: 21 = 1/21 = 1/2 .

För a = 0 går det inte att ge en definition för ax annat än om x>0. Speciellt hör uttrycket 00 till de odefinierbara uttrycken.

Utvidgning för rationella exponenter[redigera | redigera wikitext]

Genom att tillämpa den sista potenslagen kan även potenser med rationella exponenter beräknas, förutsatt att basen är större än noll.

  • x = a p/q (där a > 0) är det positiva tal x som uppfyller xq = ap eftersom xq = (a p/q)q = ap/qq = ap .

Speciellt betecknas a1/2 som (kvadrat)roten ur a (skrives\sqrt a) och a1/3 som kubikroten ur a (skrives \sqrt[3] a).

Om basen är noll eller mindre, är potensen inte definierad. Det beror på att om p är udda och q är jämt går det inte att få likhet för negativa tal a. Udda rötter är däremot definierade för alla reella tal.

Utvidgning för alla reella exponenter[redigera | redigera wikitext]

Om exponenten är irrationell, dvs reell men inte rationell, utgår man från kontinuitetsprincipen:

Om x1<y<x2 så ska ax1<ay<ax2 gälla (där a>1), och genom att låta x2x1 bli allt mindre, bestäms ay som ett gränsvärde. (Om 0<a<1 gäller omvända olikheter.)

Alternativ definition av exponentialfunktionen[redigera | redigera wikitext]

Det är också möjligt att använda ax = ex ln a för att definiera potensfunktionen.

En sådan definition kan göras med exponentialfunktionens serieutveckling:

e^x= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

eller utgå ifrån en definition av den naturliga logaritmen:

\ln (x) = \int_1^x {dt \over t}

Utvidgning för komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

För komplexa tal (och därmed även för negativa reella baser) kan man skriva om potensuttrycket, så att det kan återföras på följande definition (se Eulers formel):

  • e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi

Mer om potensers egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Till skillnad från addition och multiplikation har operationen exponentiering nästan ingen av "de vanliga" algebraiska egenskaperna, som brukar användas för att förenkla räkningar. Av potenslagarna kan man utläsa, att exponentiering är högerdistributiv med avseende på multiplikation (det vill säga att (a · b)c = ac · bc); och operationen har det högerneutrala elementet 1 (eftersom a1 = a. Däremot är exponentiering inte vänsterdistributiv, och saknar vänsterneutralt element).

Exponentiering är inte heller kommutativ. Exempelvis är 2 + 3 = 5 = 3 + 2 och 2 · 3 = 6 = 3 · 2, eftersom addition och multiplikation är kommutativa operationer, men 23 = 8, vilket inte är detsamma som 32 = 9.

Exponentiering är inte heller associativ, till skillnad från addition och multiplikation. Exempelvis är (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 och (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, men 23 upphöjt till 4 är 84 = 4 096, medan 2 upphöjt till 34 är 281 = 2 417 851 639 229 258 349 412 352. Observera att om man inte använder parenteser för att ändra prioriteringsordningen, så "beräknas exponenter först", så att till exempel

b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{(p \cdot q)} = b^{p \cdot q}.

(Detta gäller oberoende av om man använder det vanliga beteckningssättet med "små upphöjda" exponenter, eller i stället betecknar exponentiering medelst symbolen ^. I datoralgebrasystem gäller alltså normalt tolkningen b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q.)

Funktioner med potenser[redigera | redigera wikitext]

Till viktiga funktionstyper som har sitt ursprung ur potenser räknas

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.