Extraordinärt tal

Inom talteorin är ett extraordinärt tal ett naturligt tal n vars största primtalsfaktor är strikt större än ${\sqrt {n}}$ (talföljd A064052 i OEIS). Alla primtal är extraordinära.

Ett k-slätt tal har alla sina primtalsfaktorer mindre än eller lika med k, och därav är extraordinära tal icke-${\sqrt {n}}$-släta.

De första extraordinära talen är:

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 99, 101, 102, … (talföljd A064052 i OEIS)

De första icke-prima extraordinära talen är:

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102, …

Om vi betecknar antal extraordinära tal mindre än eller lika med n av u(n), då uppträder u(n) på följande sätt:

n	u(n)	u(n) / n
10	6	0,6
100	67	0,67
1000	715	0,715
10000	7319	0,7319
100000	70128	0,70128

Richard Schroeppel bevisade år 1972 att den asymptotiska sannolikheten att ett slumpmässigt valt tal är extraordinärt är ln(2). Med andra ord:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0.693147\dots \,.$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Unusual number, 3 november 2013.

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Rough Number", MathWorld. (engelska)