Thomaes funktion

Thomaes funktion på intervallet $(0,1)$

Thomaes function, Riemannfunktionen eller i engelsktalande länder popcornfunktionen är en funktion som är kontinuerlig i alla irrationella punkter och diskontinuerlig i alla rationella.

Funktionen definition är

$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q} & \text{om }x=\frac{p}{q}\\ 0 & \text{i annat fall}. \end{cases}$,

där $p$ och $q$ är heltal och bråket $p/q$ är förkortat så mycket som möjligt.

Kontinuitet i irrationella punkter

Låt $x$ vara ett irrationellt tal och $\epsilon = 1/n\,$ för $n\,$ ett heltal. Vi kan definiera

$y^* = \min_j\min_{1\le m \le n} \left| x - \frac{j}{m} \right|$.

$y^*$ är alltså det kortaste avståndet till ett rationellt tal med nämnare högst $n$. Då är

$|f(x) - f(y)| = |f(y)| \le \epsilon$ om $|x-y| \le |x-y^*| = \delta$.

Detta visar att $f$ är kontinuerlig i $x$.

Diskontinuitet i rationella punkter

Om $x = p/q$ finns det för varje $\delta>0$ ett (irrationellt) $y$ så att

$|x-y| \le \delta$ men $|f(x)-f(y)| = |f(x)| = \frac{1}{q}$.

Detta visar att $f$ är diskontinuerlig i $x$.

Se även

• Dirichlets funktion