Thomaes funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Thomaes funktion på intervallet (0,1)

Thomaes function, Riemannfunktionen eller i engelsktalande länder popcornfunktionen är en funktion som är kontinuerlig i alla irrationella punkter och diskontinuerlig i alla rationella.[1]

Funktionen definition är

f(x)=\begin{cases}
  \frac{1}{q} & \text{om }x=\frac{p}{q}\\
  0           & \text{i annat fall}. 
\end{cases},

där p och q är heltal och bråket p/q är förkortat så mycket som möjligt.

Kontinuitet i irrationella punkter[redigera | redigera wikitext]

Låt x vara ett irrationellt tal och \epsilon = 1/n\, för n\, ett heltal. Vi kan definiera

y^* = \min_j\min_{1\le m \le n}  \left| x - \frac{j}{m} \right|.

y^* är alltså det kortaste avståndet till ett rationellt tal med nämnare högst n. Då är

|f(x) - f(y)| = |f(y)| \le \epsilon om |x-y| \le |x-y^*| = \delta.

Detta visar att f är kontinuerlig i x.

Diskontinuitet i rationella punkter[redigera | redigera wikitext]

Om x = p/q finns det för varje \delta>0 ett (irrationellt) y så att

|x-y| \le \delta men |f(x)-f(y)| = |f(x)| = \frac{1}{q}.

Detta visar att f är diskontinuerlig i x.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Gelbaum, Bernard R.; Olmsted John M. H. (2003[1964]) (på eng). Counterexamples in analysis. Mineola, NY: Dover Publications. Libris 9971146. ISBN 0-486-42875-3 (pbk.) 

Se även[redigera | redigera wikitext]