Besselfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är besselfunktionerna lösningarna till differentialekvationen

\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{du}{dx} + \left(1 - \frac{\alpha^2}{x^2}\right)u = 0.

Denna ekvation uppkommer när man tittar på den radiella delen av Laplaces ekvation i cylindriska koordinater.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Besselfunktionerna av första slaget definieras av:

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} .

Om n är ett heltal kan Besselfunktionerna definieras som integralen

J_n(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(nt - x \sin t)dt.

En integral för alla värden på α är

J_\alpha(x) =   \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)\,d\tau - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_0^\infty  e^{-x \sinh(t) - \alpha t} \, dt.

Differentialekvationen har två linjärt oberoende lösningar och därför behövs även Besselfunktioner av andra slaget:

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}.

Y_\alpha(x) är inte begränsad då x \to 0, vilket gör att man ofta kan bortse från denna lösning av fysikaliska skäl. För heltal n måste Besselfunkttionen av andra slaget definieras som gränsvärdet

Y_n(x) = \lim_{\nu\to n} Y_\nu(x).

Gränsvärdet ges av uttrycket

\begin{align}
Y_n(x) =\,& \frac2{\pi}\left(\gamma+\ln\frac{x}2\right)J_n(x)
 - \frac1{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{x}2\right)^{2k-n}\\
 &{}- \frac1{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{H_k+H_{k+n}}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}2\right)^{2k+n}
\end{align}

där \gamma är Eulers konstant och H_n är det n:te harmoniska talet.

En integralrepresentation för Re(x) > 0 är

Y_n(x) =\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin(x \sin\theta - n\theta) \, d\theta - \frac{1}{\pi} \int_0^\infty  \left[ e^{n t} + (-1)^n e^{-n t} \right]  e^{-x \sinh t} \, dt.


Sfäriska Besselfuntioner[redigera | redigera wikitext]

I samband med Laplaces ekvation i sfäriska koordinater uppkommer en liknande ekvation för den radiella delen:

\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{2}{x} \frac{du}{dx} + \left(1 - \frac{n(n+1)}{x^2}\right)u = 0.

Denna har de sfäriska Besselfunktionerna som lösningar.

j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),
y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).

Se vidare Klotytefunktion.

Hankelfunktioner[redigera | redigera wikitext]

En annan viktig formulering av två linjärt oberoende lösningar på Bessels ekvation är Hankelfunktionerna Hα(1)(x) och Hα(2)(x) som definieras som

H_\alpha^{(1)}(x) = J_\alpha(x) + i Y_\alpha(x)
H_\alpha^{(2)}(x) = J_\alpha(x) - i Y_\alpha(x)

där i är imaginära enheten. De är även kända som Besselfunktioner av tredja slaget. De är uppkallade efter Hermann Hankel.

Hankelfunktionerna kan uttryckas som

H_\alpha^{(1)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{-\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{i \sin (\alpha \pi)}
H_\alpha^{(2)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{- i \sin (\alpha \pi)}.

Om α är ett heltal måste gränsvädet räknas. Oberoende om α är ett heltal eller inte gäller följande relationer:

H_{-\alpha}^{(1)} (x)= e^{\alpha \pi i} H_\alpha^{(1)} (x)
H_{-\alpha}^{(2)} (x)= e^{-\alpha \pi i} H_\alpha^{(2)} (x).

Modifierade Besselfunktioner[redigera | redigera wikitext]

Ett viktigt specialfall av Besselfunktionerna är set då argumentet är rent imaginärt. I det fallet kallas funktionerna för modifierade Besselfunktioner (eller ibland för hyperboliska Besselfunktioner) av första och andra slaget, och definieras som

I_\alpha(x) = i^{-\alpha} J_\alpha(ix) =\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m! \Gamma(m+\alpha+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\alpha}
K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\alpha} (x) - I_\alpha (x)}{\sin (\alpha \pi)}

De är reellvärda för positiva reella argument x.

Om −π < arg(x) ≤ π/ är

K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(ix) ,

och om −π/2 < arg(x) ≤ π är

K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} (-i)^{\alpha+1} H_\alpha^{(2)}(-ix) .

För −π < arg(z) ≤ π/2 är

\begin{align}
J_\alpha(iz) &=e^{\frac{\alpha i\pi}{2}} I_\alpha(z)\\
Y_\alpha(iz) &=e^{\frac{(\alpha+1)i\pi}{2}}I_\alpha(z)-\frac{2}{\pi}e^{-\frac{\alpha i\pi}{2}}K_\alpha(z)
\end{align}

Iα(x) och Kα(x) är två linjärt oberoende lösningar av modifierade Besselekvationen

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0.

Två integralformler för Re(x) > 0 är

I_\alpha(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \exp(x\cos(\theta)) \cos(\alpha\theta) \,d\theta - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi}\int_0^\infty \exp(-x\cosh t - \alpha t) \,dt
K_\alpha(x) = \int_0^\infty \exp(-x\cosh t) \cosh(\alpha t) \,dt.

Modifierade Besselfunktionerna K1/3 and K2/3 kan skrivas som de snabbt konvergerande integralerna

 \begin{align}
K_{\frac{1}{3}} (\xi) &= \sqrt{3}\, \int_0^\infty \, \exp \left[- \xi \left(1+\frac{4x^2}{3}\right) \sqrt{1+\frac{x^2}{3}} \,\right] \,dx \\
K_{\frac{2}{3}} (\xi) &= \frac{1}{ \sqrt{3}} \, \int_0^\infty \, \frac{3+2x^2}{\sqrt{1+\frac{x^2}{3}}} \exp  \left[- \xi  \left(1+\frac{4x^2}{3}\right) \sqrt{1+\frac{x^2}{3}} \,\right] \,dx \end{align}

Modifierade Besselfunktionerna av andra slaget har även kallats för:

Riccati-Besselfunktioner[redigera | redigera wikitext]

Riccati-Besselfunktionerna definieras som

S_n(x)=x j_n(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}} \, J_{n+\frac{1}{2}}(x)
C_n(x)=-x y_n(x)=-\sqrt{\frac{\pi x}{2}} \, Y_{n+\frac{1}{2}}(x)
\xi_n(x) = x h_n^{(1)}(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}} \, H_{n+\frac{1}{2}}^{(1)}(x)=S_n(x)-iC_n(x)
\zeta_n(x)=x h_n^{(2)}(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}} \, H_{n+\frac{1}{2}}^{(2)}(x)=S_n(x)+iC_n(x).

De satisfierar differentialekvationen

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + [x^2 - n (n+1)] y = 0.

Multiplikationsteorem[redigera | redigera wikitext]

Besselfunktionerna satisfierar multiplikationsteoremet

\lambda^{-\nu} J_\nu (\lambda z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left(\frac{(1-\lambda^2)z}{2}\right)^n J_{\nu+n}(z)

där λ och ν är godtyckliga kompexa tal. Den analoga formeln för modifierade Besselfunktioner är

\lambda^{-\nu} I_\nu (\lambda z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left(\frac{(\lambda^2-1)z}{2}\right)^n I_{\nu+n}(z)

och

\lambda^{-\nu} K_\nu (\lambda z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \left(\frac{(\lambda^2-1)z}{2}\right)^n K_{\nu+n}(z).

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Besselfunktionerna satisfierar de användbara rekursionerna

J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}J_n(x) - J_{n-1}(x)
J_n'(x) = \frac{1}{2}(J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x))
xJ_n'(x) = nJ_n(x) - xJ_{n+1}(x)\,
(x^n J_n(x))' = x^nJ_{n-1}(x)\,
(x^{-n}J_n(x))' = -x^{-n}J_{n+1}(x)\,.

För heltal α = n kan Jn definieras via Laurentserien

e^{(\frac{x}{2})(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) t^n.\!

Andra liknande relationer för heltal n är

e^{iz \cos(\phi)} = \sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(z) e^{in\phi},\!

och

e^{iz \sin(\phi)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z) e^{in\phi}.\!

För ν > −1/2 och zC kan Besselfunktionerna definieras som integralerna

\begin{align}J_\nu(z) &= \frac{ (\frac{z}{2})^\nu }{ \Gamma(\nu + \frac{1}{2} ) \sqrt{\pi} } \int_{-1}^{1} e^{izs}(1 - s^2)^{\nu - \frac{1}{2} } \,ds \\ &=\frac 2{{\left(\frac z 2\right)}^\nu\cdot \sqrt{\pi} \cdot \Gamma\left(\frac 1 2-\nu\right)} \int_1^\infty  \frac{\sin(z u)}{(u^2-1)^{\nu+\frac 1 2}} \,du.\end{align}

Besselfunktionerna satisfierar ortogonalitetsrelationen

\int_0^\infty J_\alpha(z) J_\beta(z) \frac {dz} z= \frac 2 \pi \frac{\sin\left(\frac \pi 2 (\alpha-\beta)  \right)}{\alpha^2 -\beta^2}.

En annan integral är

\int_0^\infty e^{-at}J_n(bt)\mathrm dt = \frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a)^n}.

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Besselfunktionerna är relaterade till generaliserade hypergeometriska serier enligt

J_\alpha(x)=\frac{(\frac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  \;_0F_1 (\alpha+1; -\tfrac{x^2}{4}).

Besselfunktionerna är även relaterade till Laguerrepolynomen enligt

\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{k=0}^\infty \frac{L_k^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{k+ \alpha \choose k}} \frac{t^k}{k!}

där t är ett godtyckligt tal.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

K_\frac{1}{2}(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-z}z^{-\tfrac{1}{2}},\, z>0;
I_{-\frac{1}{2}} (z)= \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cosh(z) ;
I_{\frac{1}{2}} \left(z\right)= \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sinh(z) ;
I_\nu(z)=\sum_{k=0} \frac{z^k}{k!} J_{\nu+k}(z);
J_\nu(z)=\sum_{k=0} (-1)^k \frac{z^k}{k!} I_{\nu+k}(z);
I_\nu (\lambda z)= \lambda^\nu \sum_{k=0} \frac{\left((\lambda^2-1)\frac z 2\right)^k}{k!} I_{\nu+k}(z);
I_\nu (z_1+z_2)= \sum_{k=-\infty}^\infty I_{\nu-k}(z_1)I_k(z_2)
J_\nu(z_1\pm z_2)= \sum_{k=-\infty}^\infty J_{\nu \mp k}(z_1)J_k(z_2);
I_\nu(z)=\frac z {2 \nu} (I_{\nu-1}(z)-I_{\nu+1}(z));
J_\nu(z)=\frac z {2 \nu} (J_{\nu-1}(z)+J_{\nu+1}(z));
J_\nu'(z)=\frac{J_{\nu-1}(z)-J_{\nu+1}(z)}{2}\quad(\nu\neq 0), \quad J_0'(z)=-J_1(z);
I_\nu'(z)=\frac{I_{\nu-1}(z)+I_{\nu+1}(z)}{2},\quad I_0'(z)=I_1(z);
\left(\tfrac{1}{2}z\right)^\nu= \Gamma(\nu)\cdot \sum_{k=0} I_{\nu+2k}(z)(\nu+2k){-\nu\choose k} = \Gamma(\nu)\cdot\sum_{k=0}(-1)^k J_{\nu+2k}(z)(\nu+2k){-\nu \choose k}
= \Gamma(\nu+1)\cdot \sum_{k=0}\frac 1{k!}\left(\tfrac1 2z\right)^k J_{\nu+k}(z).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.