Trippelprodukt

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Det finns två sorters trippelprodukter av vektorer; den skalära och den vektoriella. Båda handlar om att multiplicera tre vektorer () med varandra genom en serie skalär- och kryssprodukter.

Skalär trippelprodukt[redigera | redigera wikitext]

Den skalära trippelprodukten definieras som skalärprodukten av den ena vektorn med kryssprodukten av de två andra, dvs:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Vektorerna kan inom produkten flyttas runt cykliskt, dvs:

Geometrisk tolkning[redigera | redigera wikitext]

Den skalära trippelprodukten kan geometriskt tolkas som volymen (med tecken) av parallellepipeden som definieras av de tre vektorerna.

Determinanttolkning[redigera | redigera wikitext]

Man kan också tolka den skalära trippelprodukten som determinanten av den matris som har de tre vektorerna som rader eller kolonner.

Vektoriell trippelprodukt[redigera | redigera wikitext]

Den vektoriella trippelprodukten är

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Den vektoriella trippelprodukten kan utvecklas med hjälp av Lagranges formel[1], "BAC-CAB-regeln":

Bevis
ger
,
och
Utveckling av ger:
På samma sätt får vi:
och
, sålunda:

Referenser och noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Uppkallad efter Joseph-Louis Lagrange som använde metoden i komponentform 1773 i Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, innan skalär- och vektorprodukt introducerades formellt på 1800-talet (William Rowan Hamilton introducerade begreppen "vektor" och "skalär" 1843).
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.