Radrum

Raderna i en matris.

Radrummet till en matris är i linjär algebra alla möjliga linjärkombinationer av matrisens radvektorer. Radrummet till en m × n-matris är ett underrum till ett n-dimensionellt vektorrum.

Radrummet och kolonnrummet har alltid samma dimension, denna dimension kallas matrisens rang.

Definition

Låt A vara en m × n-matris med radvektorerna ${\textbf {r}}_{1},{\textbf {r}}_{2},...,{\textbf {r}}_{m}$, då en linjärkombination av dessa vektorer är en vektor på formen

${\textbf {v}}=a_{1}{\textbf {r}}_{1}+a_{2}{\textbf {r}}_{2}+...+a_{m}{\textbf {r}}_{m}$

där $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ är skalärer. Mängden av alla linjärkombinationer är radrummet till matrisen. Annorlunda uttryckt spänner radvektorerna i matrisen upp matrisens radrum.

Bas för radrum

En bas för radrummet till en m × n-matris kan fås genom att reducera matrisen till en trappstegsmatris och sedan plocka ut de nollskilda raderna.

Exempel

Om man vill ha en bas till radrummet till matrisen

$A={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&6\\1&3&5\end{pmatrix}}$

reducerar man den till trappstegsform:

${\begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&6\\1&3&5\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&4\\0&1&4\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&4\\0&0&0\end{pmatrix}}$

och får att radrummet spänns upp av vektorerna $(1,2,1)$ och $(0,1,4)$.

Relation till nollrummet

Nollrummet till en matris är de vektorer som avbildas på en nollvektor av matrisen, med andra ord är en vektor ${\textbf {x}}$ i matrisen A:s nollrum om $A{\textbf {x}}=0$. Från reglerna för matrismultiplikation följer det att $A{\textbf {x}}=0$ om och endast om skalärprodukten av ${\textbf {x}}$ med varje radvektor ${\textbf {r}}_{1},{\textbf {r}}_{2},...,{\textbf {r}}_{m}$ är noll, dvs:

$\langle {\textbf {x}}|{\textbf {r}}_{i}\rangle =0~~1\leq i\leq m.$

Med andra ord är vektorerna i nollrummet ortogonala mot vektorerna i radrummet, så att radrummet är det ortogonala komplementet till nollrummet.