Radrum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Raderna i en matris.

Radrummet till en matris är i linjär algebra alla möjliga linjärkombinationer av matrisens radvektorer. Radrummet till en m × n-matris är ett underrum till ett n-dimensionellt vektorrum.

Radrummet och kolonnrummet har alltid samma dimension, denna dimension kallas matrisens rang.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara en m × n-matris med radvektorerna , då en linjärkombination av dessa vektorer är en vektor på formen

där är skalärer. Mängden av alla linjärkombinationer är radrummet till matrisen. Annorlunda uttryckt spänner radvektorerna i matrisen upp matrisens radrum.

Bas för radrum[redigera | redigera wikitext]

En bas för radrummet till en m × n-matris kan fås genom att reducera matrisen till en trappstegsmatris och sedan plocka ut de nollskilda raderna.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Om man vill ha en bas till radrummet till matrisen

reducerar man den till trappstegsform:

och får att radrummet spänns upp av vektorerna och .

Relation till nollrummet[redigera | redigera wikitext]

Nollrummet till en matris är de vektorer som avbildas på en nollvektor av matrisen, med andra ord är en vektor i matrisen A:s nollrum om . Från reglerna för matrismultiplikation följer det att om och endast om skalärprodukten av med varje radvektor är noll, dvs:

Med andra ord är vektorerna i nollrummet ortogonala mot vektorerna i radrummet, så att radrummet är det ortogonala komplementet till nollrummet.