Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess är en algoritm för att generera en ortonormerad bas (ortogonal bas med norm 1) ur en given mängd vektorer tillhörande ett inre produktrum med en skalärprodukt .

Metoden är uppkallad efter Erhard Schmidt och Jørgen Pedersen Gram, men dök upp tidigare i verk av Laplace och Cauchy. Iwasawafaktorisering är en generalisering av metoden.

Algoritmen[redigera | redigera wikitext]

Steg 0: Ta bort vektorer ur den givna mängden till dess att mängden är linjärt oberoende. Antag att denna eventuellt ändrade mängd vektorer är och låt .

Steg i (i = ): Antag att en bas har konstruerats genom att ha använt vektorerna . Om så är algoritmen färdig. Låt och sätt .

Här har använts för att beteckna .

Algoritmen ger som resultat den ortonormerade mängden . Att algoritmen vid steg i, kräver en linjärt oberoende mängd vektorer inses vid steget . Om här är linjärt beroende med , så är , och uttrycket saknar mening.