QR-faktorisering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom linjär algebra är QR-faktorisering en matrisfaktorisering av en (reell) matris i en ortogonal matris och en triangulär matris.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En QR-faktorisering av en reell kvadratisk matris kan uttryckas:

För en ortogonal matris och en uppåt triangulär matris . Om istället är komplex är en unitär matris.

Detta kan generaliseras till att är en matris av format där , då är en ortogonal (unitär) matris med format och är en uppåt triangulär matris med format .

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera sätt att beräkna QR-faktoriseringen av en matris. Det vanligaste sättet är genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.

Genom Gram-Schmidt[redigera | redigera wikitext]

Om matrisen har kolonnvektorerna som är linjärt oberoende, kan man genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess bestämma vektorer som är ortogonala. De gamla -vektorerna kan nu skrivas som linjärkombinationer av de nya -vektorerna:

Om vi nu placerar våra -värden i en matris, , och de ortogonala vektorerna i en annan matris, , kan vi uttrycka den gamla matrisen som produkten av dessa:

-vektorerna är ortogonala är ortogonal (unitär om vektorerna är komplexa).

För att få -värdena kan man lösa dem ur ortogonaliseringsprocessen man gör, eller så använder man sig av faktumet att:

Så att kan beräknas genom en enkel matrismultiplikation ( står för det hermiteska konjugatet till , som i det reella fallet är samma sak som transponat).

Med Householderreflektioner[redigera | redigera wikitext]

En Householdertransformation är en linjär avbildning som reflekterar en vektor i ett hyperplan. Detta kan användas till att QR-faktorisera en matris. Denna metod är numeriskt stabilare än Gram-Schmidt-metoden och har en tidskomplexitet.

För beräkningen tas speciella Householdertransformationer fram. Man utgår från en vektor och tar ett tal a så att . Om QR-faktoriseringen görs med flyttalsberäkningar och vektorn är reell bör a väljas med motsatt tecken från första elementet i vektorn , om vektorn är komplex bör a väljas genom:

Sedan konstrueras Householdertransformationen Q på följande sätt ( är vektorn ):

För att QR-faktorisera m×n-matrisen A, konstruerar man en Householdertransformation Q1 enligt ovan från första kolonnen i A. Man får då

Man kan sedan konstruera en ny Householdertransformation från första kolonnen i ( fås genom att plocka bort första kolonnen och första raden i ). Eftersom man vill verka på matrisen och inte så tar man matrisen och fyller ut den. För ett generellt steg i QR-faktoriseringen får man matrisen:

Vid multiplikation med Q2 fås alltså en matris som är lika stor som A. Ur denna matris läser man ut som är två steg mindre än A, tar den första kolonnen och konstruerar varur man konstruerar Q3 enligt ovan.

Sedan upprepas detta steg, då man fått

där R är uppåt triangulär och

är en unitär matris (eftersom Householdertransformationer är unitära). Alltså är en QR-faktorisering av A.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Minsta kvadrat-lösningar[redigera | redigera wikitext]

Om man ska hitta minsta kvadrat-lösningen till ett ekvationssystem givet av ekvationen förenklas detta om är QR-faktoriserad. Lösningen ges i vanliga fall av

Om ger vänsterledet

och högerledet

så att ekvationen blir

som är ett väldigt lättlöst ekvationsysstem eftersom är triangulär.

Determinanter, egenvärden och singulärvärden[redigera | redigera wikitext]

Om A är en kvadratisk matris av storlek n som är QR-faktoriserad, , då det ur räknelagarna för determinanten att

Eftersom Q är unitär är , vilket ger:

där är värdena i R:s diagonal. Då man även vet att determinanten av A är produkten av A:s egenvärden följer det att

där är A:s egenvärden.

Man kan generalisera resonemanget ovan till att gälla matriser A som inte är kvadratiska, då man från egenskaper hos singulärvärdesfaktoriseringen får att:

där är A:s singulärvärden.

Se även[redigera | redigera wikitext]