1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ är inom matematiken den divergenta serien:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

som först behandlades av Euler, som sökte resummationsmetoder för att överlåta ett ändligt värde till serien. Serien är en summa av fakulteter som alternerande adderas eller subtraheras. Ett enkelt sätt att summera den divergenta serien är att använda Borelsummering:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx$

Om vi byter ut summering och integration ges:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx$

Summeringen i hakparenteserna konvergerar och är lika med 1/(1 + x) om x < 1. Om vi byter summeringen med 1/(1 + x) oavsett om det konvergerar, får vi en konvergent integral för summering:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots$

där $E_{1}(z)$ är exponentialintegralen.

Resultat

Resultaten för de första tio värdena för k visas nedan:

k	++-beräkning	++	Resultat
0	1 · 0! = 1 · 1	1	1
1	−1 · 1	−1	0
2	1 · 2 · 1	2	2
3	−1 · 3 · 2 · 1	−6	−4
4	1 · 4 · 3 · 2 · 1	24	20
5	−1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−120	−100
6	1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	720	620
7	−1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−5040	−4420
8	1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	40320	35900
9	−1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−362880	−326980

Se även

• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• Grandis serie
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯, 3 januari 2014.

• Euler, L. (1760), ”De seriebus divergentibus” (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (5): 205–237, http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E247.html