1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ är inom matematiken den divergenta serien

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k!

som först behandlades av Euler, som sökte resummationsmetoder för att överlåta ett ändligt värde till serien.[1] Serien är en summa av fakulteter som alternerande adderas eller subtraheras. Ett enkelt sätt att summera den divergenta serien är att använda Borelsummering:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \int_0^\infty x^k \exp(-x) \, dx

Om vi byter ut summering och integration ges:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \int_0^\infty \left[\sum_{k=0}^\infty (-x)^k \right]\exp(-x) \, dx

Summeringen i hakparenteserna konvergerar och är lika med 1/(1 + x) om x < 1. Om vi byter summeringen med 1/(1 + x) oavsett om det konvergerar, får vi en konvergent integral för summering:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} k! = \int_0^\infty \frac{\exp(-x)}{1+x} \, dx = e E_1 (1) \approx 0.596347362323194074341078499369\ldots

där E_1 (z) är exponentialintegralen.

Resultat[redigera | redigera wikitext]

Resultaten för de första tio värdena för k visas nedan:

k ++-beräkning ++ Resultat
0 1 · 0! = 1 · 1 1 1
1 −1 · 1 −1 0
2 1 · 2 · 1 2 2
3 −1 · 3 · 2 · 1 −6 −4
4 1 · 4 · 3 · 2 · 1 24 20
5 −1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −120 −100
6 1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 620
7 −1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −5040 −4420
8 1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 40320 35900
9 −1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −362880 −326980

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯, 3 januari 2014.
  1. ^ (Euler 1760, sid. 205)