1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Visuell demonstration av de sex första summanderna.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ är inom matematiken en oändlig serie som är ett elementärt exempel på en geometrisk serie med absolut konvergens.

Dess summa är:

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac12\left({\frac 12}\right)^n = \frac {\frac12}{1-\frac 12} = 1.

Diskret bevis[redigera | redigera wikitext]

Som med alla oändliga serier, den oändliga summan

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots

definieras att innebära gränsen av summan av de n första termerna

s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}

det att n närmar sig oändligheten. Multiplicera sn med 2 så framgår en använd användbar relation:

2s_n = \frac22+\frac24+\frac28+\frac{2}{16}+\cdots+\frac{2}{2^n} = 1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = 1+s_n-\frac{1}{2^n}.

Subtrahera sn från båda sidor,

s_n = 1-\frac{1}{2^n}.

när n går mot oändligheten, går sn mot 1.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Serien användes som representation av en av Zenons paradoxer.[1] Delarna av Horusögat var en gång tänkt att representera de sex första summanderna av serien.[2]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯, 3 januari 2014.
  1. ^ Description of Zeno's paradoxes
  2. ^ Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. Sid. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6.