Dimensionssatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Dimensionssatsen är en sats inom linjär algebra om det samband som finns mellan nollrummet och värderummet till en linjär avbildning och dess dimensioner:

Om och är två vektorrum och är en linjär avbildning så gäller:

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Antag att , låt vara en bas för och fyll ut med till en bas för .

  • Om är ty det enda som nås av är nollvektorn och och satsen stämmer.
  • Om gäller som vanligt att men då innebär det att där måste vara linjärt oberoende ty ty omm och är alla då de är basvektorer i och således linjärt oberoende. Alltså utgör en bas för och och satsen stämmer.
  • Om gäller som vanligt att där måste vara linjärt oberoende ty ty och är alla då de är basvektorer i och således linjärt oberoende. Alltså utgör en bas för och och satsen stämmer.

Således har vi nu visat att satsen stämmer i samtliga tre fall.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet