Matrislogaritm

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken är matrislogaritm en generalisering av begreppet logaritm till att gälla även kvadratiska matriser. Matrislogaritmen är den inversa matrisfunktionen till matrisexponentialen.

Definition och egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En matris är logaritmen till en matris om är matrisexponentialen av :

Matrislogaritmen har följande egenskaper:

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

För diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

Om är en diagonalmatris är logaritmen av en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av s diagonalelement, dvs:

För en diagonaliserbar matris , dvs , gäller att .

För ej diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs där är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock kan skrivas som:

Där är en nilpotent matris med i diagonalen ovanför huvuddiagonalen.

Vi kan nu använda Maclaurinutvecklingen av :

Så att:

är nilpotent kommer för något , så att serien i slutet kommer att konvergera mot en matris.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Matrisen:

är ett Jordanblock. Vi får då att:

Se även[redigera | redigera wikitext]