Matrislogaritm

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är matrislogaritm en generalisering av begreppet logaritm till att gälla även kvadratiska matriser. Matrislogaritmen är den inversa matrisfunktionen till matrisexponentialen.

Definition och egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En matris är logaritmen till en matris om är matrisexponentialen av :

Matrislogaritmen har följande egenskaper:

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

För diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

Om är en diagonalmatris är logaritmen av en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av s diagonalelement, dvs:

För en diagonaliserbar matris , dvs , gäller att .

För ej diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs där är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock kan skrivas som:

Där är en nilpotent matris med i diagonalen ovanför huvuddiagonalen.

Vi kan nu använda Maclaurinutvecklingen av :

Så att:

är nilpotent kommer för något , så att serien i slutet kommer att konvergera mot en matris.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Matrisen:

är ett Jordanblock. Vi får då att:

Se även[redigera | redigera wikitext]