Cramers regel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cramers regel är en sats inom linjär algebra, vilken ger lösningen till ett linjärt ekvationssystem med hjälp av determinanter. Satsen är namngiven efter Gabriel Cramer (1704-1752).

Beräkningsmässigt är metoden ineffektiv då flera ekvationsevalueringar är nödvändiga. Den är därför sällan använd inom praktiska tillämpningar. Men satsen har ett teoretiskt värde då metoden ger ett explicit uttryck för lösningar till ekvationssystem.

Ett ekvationssystem representeras i matrisnotation som

A\mathbf{x} = \mathbf{c}

där A är en inverterbar kvadratisk matris och vektorn \mathbf{x} är en kolumnvektor.

Enligt Cramers sats är

x_i = \frac{\det{A_i}}{\det{A}},

där A_i är matrisen med i:e kolumnen i A utbytt mot kolumnvektorn \mathbf{c} och x_i den i:e komponenten i lösningsvektorn.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Cramers metod är lämplig för att lösa ekvationssystem med två obekanta


\begin{matrix}
ax + by = e \\
cx + dy = f
\end{matrix}

vilket motsvarar matrisnotationen


\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
e \\
f
\end{bmatrix}

Lösningarna är enligt Cramers regel

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} = { ed - bf \over ad - bc}
y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} ={ af - ec \over ad - bc}

Bevis[redigera | redigera wikitext]

För ett bevis av Cramers regel kan två egenskaper hos determinanter utnyttjas:

  1. Addition av en kolumn till en annan kolumn ändrar inte determinantens värde
  2. Multiplikation av en kolumn i en matris A med ett reellt tal c ändrar det(A) till c det(A)

Antag att vi har n linjära ekvationer av de n variablerna x_1, x_2,\ldots,x_n:

\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n&=&b_n\end{matrix}

Enligt Cramers regel är

x_1 = \frac{\left|\begin{matrix}b_1&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\b_2&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_n&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}

Om b_1, b_2,\ldots,b_n substitueras med det ursprungliga systemets vänsterled, är kvoten ekvivalent med

x_1 = \frac{\left|\begin{matrix}(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n)&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n)&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}

Genom att från den första kolumnen subtrahera den andra kolumnen multiplicerad med x_2, den tredje multiplicerad med x_3 och så vidare, visar sig kvoten vara lika med

x_1 = \frac{\left|\begin{matrix}a_{11}x_1&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}x_1&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}x_1&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}

Enligt determinantegenskap (2) kan faktorn x_1 i täljarens första kolumn brytas ut. Därmed har vi

x_1 = x_1 \frac{\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}.

Om på motsvarande sätt, kolumn nummer k från det ursprungliga ekvationssystemets motsvarande matris ersätts med kolumn b, är resultatet kvoten x_k, eller


x_k=\frac{\left|\begin{matrix}
a_{11} &\ldots &a_{1k}x_k &\ldots &\\
a_{21} &\ldots &a_{2k}x_k &\ldots &\\
\vdots &\ddots &\vdots & &\\
a_{n1} &\ldots &a_{nk}x_k &\ldots &
\end{matrix}\right|}
{\left|\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
\end{matrix}\right|} = x_k
\frac{{\left|\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
\end{matrix}\right|}}
{{\left|\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
\end{matrix}
\right|}}