Matrisaddition

Matrisaddition är inom matematik operationen att lägga ihop två matriser elementvis. Det finns dock en annan operation som kan ses som en slags addition för matriser, den direkta summan.

Elementvis addition

Den vanliga matrisadditionen definieras för två matriser av samma dimension. Resultatet blir en ny matris med samma antal rader och kolonner som de ursprungliga matriserna. Summan av två m×n-matriser A och B, betecknad A + B, är en m×n-matris beräknad genom att addera motsvarande element, det vill säga (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j].

Till exempel är

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 \\ 1+7 & 0+5 \\ 1+2 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}.$

Mängden av alla m×n-matriser med matrisaddition bildar en abelsk grupp.

Direkt summa

För två godtyckliga matriser A (med storlek m × n) och B (med storlek p × q) har vi den direkta summan av A och B, betecknad $A \oplus B$, som definieras som

$A \oplus B = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{pmatrix}.$

Till exempel är

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$