Elementär matris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är elementära matriser matriser som skiljer sig från enhetsmatrisen med avseende på en elementär radoperation. Matrismultiplikation av en matris med en elementär matris från vänster svarar mot en elementär radoperation och multiplikation från höger svarar mot en elementär kolumnoperation.

Ekvationssystemlösning[redigera | redigera wikitext]

Elementära radoperationer ändrar inte lösningsmängden till ett linjärt ekvationssystem, något som utnyttjas vid Gausselimination. Varje radoperation som används vid Gausselimination motsvaras av en elementär matris.

Radoperationer som elementära matriser[redigera | redigera wikitext]

Det finns tre typer av elementära matriser som svarar mot tre olika elementära radoperationer:

  • Radbyten, två rader byter plats:
 R_i \leftrightarrow R_j
  • Radmultiplikation, en rad multipliceras med en konstant:
 kR_i \rightarrow kR_i;\quad k\ne 0
  • Radaddition, en rad multipliceras med en konstant och adderas till en annan rad:
 R_i + kR_j \rightarrow R_i;\quad i \ne j

Radbytesmatriser[redigera | redigera wikitext]

En elementär matris som kastar om raderna i och j för en matris kan skrivas

 T_{i,j} =
\begin{bmatrix}
1 & & & & & & & \\ 
& \ddots & & & & & & \\ 
& & 0 & & 1 & & \\ 
& & & \ddots & & & & \\ 
& & 1 & & 0 & & \\ 
& & & & & & \ddots & \\ 
& & & & & & & 1
\end{bmatrix}

Matrisen har ettor i diagonalen förutom för två rader där ettorna anger de rader som skall kastas om. T_{i,j} fås genom att kasta om raderna i och j i motsvarande enhetsmatris.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  •  T_{i,j} är sin egen invers då  T_{i,j}^2 = I
  • \det T_{i,j} = -1

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Nedanstående elementära matris byter plats på rad 1 och rad 2 i en 3×n-matris:

T_{2,3} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

Multiplikation med en 3×4-matris A:

T_{2,3}A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{bmatrix}

Radmultiplikationsmatriser[redigera | redigera wikitext]

En elementär matris som multiplicerar en rad i med en konstant k kan skrivas

 T_i(k) =
\begin{bmatrix}
1 & & & & & & & \\ 
& \ddots & & & & & & \\ 
& & 1 & & & & \\ 
& & & k & & & & \\ 
& &  & & 1 & & \\ 
& & & & & & \ddots & \\ 
& & & & & & & 1
\end{bmatrix}

Matrisen kan bildas genom att rad i i motsvarande enhetsmatris multipliceras med k.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Exempel[redigera | redigera wikitext]

En elementär matris som multiplicerar rad 2 i en 3×n-matris med 3 kan skrivas som

T_2(3) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

och multiplicerad med en 3×4-matris A

T_2(3)A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
6 & 9 & 12 & 15 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{bmatrix}

Radadditionsmatriser[redigera | redigera wikitext]

En matris som adderar rad j multiplicerad med m till rad i kan skrivas som

T_{i,j}(m) =
\begin{bmatrix}
1 & & & & & & & \\ 
& \ddots & & & & & & \\ 
& & 1 & & & & \\ 
& & & \ddots & & & & \\ 
& & m & & 1  & \\ 
& & & & & & \ddots & \\ 
& & & & & & & 1
\end{bmatrix}

Matrisen kan bildas från en enhetsmatris genom att rad j adderas till rad i m gånger.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Exempel[redigera | redigera wikitext]

En matris som subtraherar rad 1 multiplicerad med 2 från rad 3 för en 3×n-matris kan skrivas

T_{3,1}(-2) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

och multiplicerad med en 3×4-matris A:

T_{3,1}(-2)A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 0 & -1 & -2 
\end{bmatrix}

Se även[redigera | redigera wikitext]