Radrum

Raderna i en matris.

Radrummet till en matris är i linjär algebra alla möjliga linjärkombinationer av matrisens radvektorer. Radrummet till en m × n-matris är ett underrum till ett n-dimensionellt vektorrum.

Radrummet och kolonnrummet har alltid samma dimension, denna dimension kallas matrisens rang.

Definition

Låt A vara en m × n-matris med radvektorerna $\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m$, då en linjärkombination av dessa vektorer är en vektor på formen

$\textbf{v} = a_1\textbf{r}_1+a_2\textbf{r}_2+...+a_m\textbf{r}_m$

där $a_1, a_2, ..., a_m$ är skalärer. Mängden av alla linjärkombinationer är radrummet till matrisen. Annorlunda uttryckt spänner radvektorerna i matrisen upp matrisens radrum.

Bas för radrum

En bas för radrummet till en m × n-matris kan fås genom att reducera matrisen till en trappstegsmatris och sedan plocka ut de nollskilda raderna.

Exempel

Om man vill ha en bas till radrummet till matrisen

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$

reducerar man den till trappstegsform:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 4\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

och får att radrummet spänns upp av vektorerna $(1,2,1)$ och $(0,1,4)$.

Relation till nollrummet

Nollrummet till en matris är de vektorer som avbildas på en nollvektor av matrisen, med andra ord är en vektor $\textbf{x}$ i matrisen A:s nollrum om $A\textbf{x} = 0$. Från reglerna för matrismultiplikation följer det att $A\textbf{x} = 0$ om och endast om skalärprodukten av $\textbf{x}$ med varje radvektor $\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m$ är noll, dvs:

$\langle \textbf{x} | \textbf{r}_i \rangle = 0 ~~ 1 \leq i \leq m.$

Med andra ord är vektorerna i nollrummet ortogonala mot vektorerna i radrummet, så att radrummet är det ortogonala komplementet till nollrummet.