Radrum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Raderna i en matris.

Radrummet till en matris är i linjär algebra alla möjliga linjärkombinationer av matrisens radvektorer. Radrummet till en m × n-matris är ett underrum till ett n-dimensionellt vektorrum.

Radrummet och kolonnrummet har alltid samma dimension, denna dimension kallas matrisens rang.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara en m × n-matris med radvektorerna \textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m , då en linjärkombination av dessa vektorer är en vektor på formen

\textbf{v} = a_1\textbf{r}_1+a_2\textbf{r}_2+...+a_m\textbf{r}_m

där  a_1, a_2, ..., a_m är skalärer. Mängden av alla linjärkombinationer är radrummet till matrisen. Annorlunda uttryckt spänner radvektorerna i matrisen upp matrisens radrum.

Bas för radrum[redigera | redigera wikitext]

En bas för radrummet till en m × n-matris kan fås genom att reducera matrisen till en trappstegsmatris och sedan plocka ut de nollskilda raderna.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Om man vill ha en bas till radrummet till matrisen

 A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 6 \\
1 & 3 & 5
\end{pmatrix}

reducerar man den till trappstegsform:


\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 6\\
1 & 3 & 5
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 4\\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 4\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

och får att radrummet spänns upp av vektorerna (1,2,1) och (0,1,4).

Relation till nollrummet[redigera | redigera wikitext]

Nollrummet till en matris är de vektorer som avbildas på en nollvektor av matrisen, med andra ord är en vektor \textbf{x} i matrisen A:s nollrum om  A\textbf{x} = 0 . Från reglerna för matrismultiplikation följer det att  A\textbf{x} = 0 om och endast om skalärprodukten av \textbf{x} med varje radvektor  \textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m är noll, dvs:

\langle \textbf{x} | \textbf{r}_i \rangle = 0 ~~ 1 \leq i \leq m.

Med andra ord är vektorerna i nollrummet ortogonala mot vektorerna i radrummet, så att radrummet är det ortogonala komplementet till nollrummet.