e (tal)

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Eulers tal)
Hoppa till: navigering, sök


Uppslagsordet ”Eulers tal” leder hit. För heltalsföljden, se Eulertal.
Se även: Eulers konstant
Funktionsgrafer till kurvor på formen f(x) = ax visas för ett antal värden på a. Talet e är det enda a som gör att derivatan av f(x) = ax vid x=0 är lika med 1. Det illustreras genom att den blå kurvan, ex, tangeras av den röda linjen (som har lutningen 1) i punkten (0,1). Som jämförelse visas även 2x (prickad kurva) och 4x (streckad kurva), som inte har den röda linjen som tangent.

Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828. "e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:

e^{i \pi} + 1 = 0

Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.

Definition och värde[redigera | redigera wikitext]

Den naturliga logaritmens värde då x=e, ln(e), är lika med 1.

Talet e kan definieras på många sätt, och det existerar ett stort antal metoder för att beräkna dess värde. Talet är till exempel bas för den naturliga logaritmen och är alltså en lösning till följande ekvation:

ln(x) = 1,

som också kan uttryckas på formen

\int_{1}^{x} {1 \over t} \,dt = 1.

Eftersom ln är strängt växande[1] är e det enda reella tal x som uppfyller sambanden.

e kan också definieras som gränsvärdet

e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)n}n=1    är följande:

2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543

I decimalform, avrundat till tre decimaler:

2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546

Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.

Med hjälp av Maclaurinutveckling är det möjligt att uttrycka exponentialfunktionen som en serie:

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},

där n! är fakulteten för n. Serien ovan kan även användas för att ge en definition av exponentialfunktionen i komplex mening, och kan användas som motivation till Eulers formel.

I fallet då x = 1 ger serien värdet på e:

e= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}, \quad n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n.

Adderar man några av de första termerna i serien ovan, säg

1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} \approx 2,717

får man en hygglig approximation till e (två korrekta decimaler) vars decimalutveckling börjar 2,718281828459045… och fortsätter i all oändlighet utan någon synbar systematik i decimalföljden.

Matematiska egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Talet e är ett irrationellt tal, vilket innebär att det inte kan skrivas på formen a/b, där a och b är heltal. År 1873 bevisade Charles Hermite att talet e även är ett transcendent tal. Det var därmed det första exemplet på ett "naturligt förekommande" transcendent tal.

Den kanske viktigaste egenskapen hos talet e är att exponentialfunktionen, som den ger upphov till, är en fixpunkt till deriveringsoperatorn. Med andra ord är exponentialfunktionen opåverkad om man deriverar den:

{d \over dx}(e^x) = e^x

Egenskapen leder till att e ofta dyker upp vid derivering och integrering av exponentiella samband, vilket gör konstanten mycket användbar inom den matematiska analysen.

Representationer[redigera | redigera wikitext]

Oändliga serier[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett stort antal oändliga serier för e:

e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}
e =   \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2
e =  \left [ -\frac{12}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)} där B_n är Belltalen. Några exempel är:
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)}

Oändliga produkter[redigera | redigera wikitext]

e kan också skrivas på flera sätt som en oändlig produkt:

 e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots
 e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4}  \cdots ,
e=\sqrt[1]{\frac{2}{1}}\cdot\sqrt[2]{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots

 e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}

 e = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.

Kedjebråk[redigera | redigera wikitext]

Några kedjebråk för e är

e = 2+
\cfrac{1}
   {1+\cfrac{1}
      {\mathbf 2 +\cfrac{1}
         {1+\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {\mathbf 4 +\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {1+\ddots}
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
= 1+
\cfrac{1}
  {\mathbf 0 + \cfrac{1}
    {1 + \cfrac{1}
      {1 + \cfrac{1}
        {\mathbf 2 + \cfrac{1}
          {1 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {\mathbf 4 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {1 + \ddots}
                }
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }.

Följande kedjebråk konvergerar tre gånger snabbare:

 e = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{22+\cfrac{1}{26+\ddots\,}}}}}}}.

Andra kedjebråk är


\begin{align}
\frac{e + 1}{e - 1} &=  [2; 6, 10, 14, \dots]  \\
  &= {2+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}}}}  \\
  & \approx  2,1639534137386 
\end{align}

\begin{align}
e &= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\cfrac{5}{6+\cfrac{6}{7+\cfrac{7}{8+\dotsb}}}}}}}}
\end{align}
 
\begin{align}
{e^z} &= 1+\cfrac{z}{1-\cfrac{1 z}{2+z-\cfrac{2 z}{3+z-\cfrac{3 z}{4+z-\cfrac{4 z}{5+z-\cfrac{5 z}{6+z-\cfrac{6 z}{7+z-\cfrac{7 z}{8+z-\dotsb}}}}}}}}
\end{align}
     (z \in \C )

Gränsvärden[redigera | redigera wikitext]

Ett simpelt korollarium av Stirlings formel

n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n

är

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.

Anda gränsvärden är

 e = \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{n})^{\pi(n)}
 e = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n\#}
e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]

där  \pi(n) är primtalsfunktionen och  n\# betecknar primorial.

Historik[redigera | redigera wikitext]

Den första publikationen med kopplingar till e är John Napiers verk om logaritmer från år 1618. Verket inkluderar ett appendix som innehåller en tabell över värdet på ln(x) för ett antal x. Själva talet e nämns dock inte. Även andra 1600-tals-matematiker, till exempel Nicholas Mercator - som införde begreppet naturlig logaritm i sitt verk Logarithmotechnia, använde sig av logaritmer med bas e utan att konstanten dök upp. Talet upptäcktes först 1683 i samband med att Jakob Bernoulli försökte beräkna sammansatt ränta i fall då beloppet uppdateras kontinuerligt istället för periodiskt. Problemet gav upphov till gränsvärdet

\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Bernoulli kom fram till att uttryckets värde måste ligga mellan 2 och 3, men hittade inte det exakta värdet (som är e). Den första kända användningen av konstanten var år 1690 i ett brev från Gottfried Leibniz till Christiaan Huygens, där Leibniz använde sig av beteckningen b. Leonhard Euler ligger bakom den nuvarande standardbeteckningen, som han använde första gången år 1731 i ett brev till Christian Goldbach. [2]

Typografisk aspekt[redigera | redigera wikitext]

Enligt den svenska standarden SS 03 61 07 (Grafisk teknik – Sättningsregler – Matematik och kemi) ska e som beteckning för den naturliga logaritmen inte skrivas i kursiv stil, då den är en matematisk konstant och inte en variabel. Detta följs dock inte i någon utsträckning alls, då konstanter också skrivs i kursiv stil.

Minnesregel[redigera | redigera wikitext]

Det finns en enkel minnesregel för att kunna komma ihåg 15 decimaler, vilket brukar räcka för vardagsbehov. Man får först komma ihåg 2,7 och sedan lägger man till årtalet då Henrik Ibsen föddes, d.v.s. 1828, två gånger. Därefter adderar man vinklarna i en likbent och rätvinklig triangel, nämligen 45, 90 och 45. Resultatet blir 2,718281828459045.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Forsling, Göran och Neymark, Mats, Matematisk analys en variabel, (2011), Liber ISBN 978-91-47-10023-1
  2. ^ O'Connor, J J. ”The number e. MacTutor History of Mathematics. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html. Okänd parameter medförfattare

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.