Nilpotent matris

Inom matematiken är en nilpotent matris en kvadratisk matris $M$ sådan att $M^k = 0$ för något positivt heltal k.

Exempel

Matrisen $A$ nedan är nilpotent.

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Eftersom $A^3 = 0$:

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3 = A \times A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Egenskaper

Låt $M$ vara en $n \times n$ nilpotent matris:

För det minsta talet $k$ sådan att $M^k = 0$ gäller att $k \leq n$.

$M$:s alla egenvärden är noll, för om $\lambda$ är ett egenvärde till $M$:

$M\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$

Så gäller att:

$M^2\mathbf{x}=MM\mathbf{x} = M\lambda\mathbf{x} = \lambda M\mathbf{x} = \lambda^2\mathbf{x}$

och i förlängningen (genom matematisk induktion):

$M^k\mathbf{x} = \lambda^k\mathbf{x}$.

Men, då $M^k = 0$ är vänsterledet noll, och alltså måste $\lambda^k = 0 \Rightarrow \lambda = 0$. Detta ger även att både $M$:s determinant och spår är noll, samt att $M$:s sekularpolynom är $\lambda^n$