Ortonormerad bas

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom linjär algebra kan begreppet ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Euklidiska rum[redigera | redigera wikitext]

I det euklidiska rummet \mathbb{R}^3 kan varje vektor x = (x_1,x_2,x_3) skrivas som en summa av sina komposanter:

x = x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3.\,

I denna summa ger enhetsvektorerna e_1 = (1,0,0), e_2=(0,1,0) och e_3 = (0,0,1) upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i \mathbb{R}^3. I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer \{e_1,e_2,e_3\} som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet \mathbb{R}^3.

Funktionsrum[redigera | redigera wikitext]

Mängden {fn : nZ} med f_n(x) = e^{2 \pi i n x} ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L2([0,1])


Andra rum[redigera | redigera wikitext]

Mängden {eb : bB} med eb(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l2(B).

Definition[redigera | redigera wikitext]

Linjärt spann[redigera | redigera wikitext]

Låt A \subseteq X vara en delmängd till ett vektorrum X. Det linjära spannet av A är den mängd, span(A), som består av alla linjärkombinationer

\xi_1x_1 + \cdots + \xi_nx_n,

vars koefficienter \xi_k är komplexa tal och vars komponenter x_k är element i mängden A.

Total mängd[redigera | redigera wikitext]

En delmängd A\subseteq X till ett normerat rum, X, är en total mängd om det slutna höljet av dess linjära spann utgör hela rummet X; det vill säga om

\overline{span(A)} = X.\,

Ortonormerad mängd[redigera | redigera wikitext]

En delmängd A \subseteq X till ett pre-Hilbertrum X, säges vara en ortonormerad mängd om den inre produkten \langle x,y\rangle mellan två element x,y \in A är

\langle x,y\rangle = \begin{cases}1 & x = y\\0 & x \neq y.\end{cases}

Ortonormerad bas[redigera | redigera wikitext]

En delmängd A \subseteq X till ett pre-Hilbertrum X, säges vara en ortonormerad bas till X om A är en total, ortonormerad mängd.