Perfekt tal

6 är det första perfekta talet, dvs. ett tal som bildas vid addition av sina delare.

Ett perfekt tal eller fullkomligt tal är inom talteorin ett heltal n för vilket summan av alla sina positiva delare, inklusive n självt, är lika med 2n. Detta är även detsamma som att ett tal n är lika med summan av alla sina delare förutom sig självt.

Definition

Om ett tal p är ett perfekt tal gäller följande:

$\sum _{k|p,\ 1\leq k<p}k=p$

Exempel

6 är ett perfekt tal eftersom det är delbart med 1, 2 och 3 och summan av dessa är just 6.

De tio första perfekta talen är (talföljd A000396 i OEIS):

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8 128
• 33 550 336
• 8 589 869 056
• 137 438 691 328
• 2 305 843 008 139 952 000
• 2 658 455 991 569 832 000 000 000 000 000 000 000
• 191 561 942 608 236 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

För en mer komplett lista, se Lista över perfekta tal.

Som framgår ovan växer storleken på de perfekta talen mycket snabbt – de är alltså sällsynta bland mängden av tal. År 2001 var endast 39 perfekta tal kända, där det största har över 8 miljoner siffror. Tolv år senare, 2013, har antalet kända perfekta tal vuxit till 48. Det är dock inte känt om det finns fler perfekta tal som är större än det 42:a, men mindre än det största perfekta tal man hittat, så de senare talens plats är inte definitiva.

Jämna perfekta tal

Alla perfekta tal man känner till är jämna. Euklides bevisade att om 2ⁿ - 1 är ett primtal, så är 2^n-1(2ⁿ - 1) ett perfekt tal. Två tusen år senare bevisade Euler att dessa är de enda jämna perfekta tal som existerar.

Primtal på formen 2ⁿ - 1 kallas Mersenneprimtal, så varje Mersenneprimtal man upptäcker ger oss omedelbart ett nytt perfekt tal.

Udda perfekta tal

En hittills obesvarad fråga är om det existerar några udda perfekta tal. Man vet att om det finns sådana, så har de bland annat följande egenskaper:

• Storlek
  • Är större än 10¹⁵⁰⁰
  • Är mindre än 2^4k, där k är antalet olika primfaktorer
  • Innehåller åtminstone en primtalspotens p^e större än 10⁶²
• Form
  • Kan skrivas på formen (4n + 1)^{4λ + 1}PP, där P är udda och 4n + 1 ett primtal (Euler)
  • Kan skrivas på formen 12n + 1, 468n + 117 eller 324n + 81
• Faktorer
  • Har åtminstone 101 primtalsfaktorer, varav minst 9 är olika
  • Har minst 12 olika primfaktorer om inte 3 är en av dem
  • Innehåller primfaktorer större än 10⁸, 10⁴ respektive 100
  • Innehåller åtminstone en primfaktor mindre än (2k + 6) / 3, där k är antalet olika primfaktorer
  • Är inte delbart med 105

Andra resultat

• 28 är det enda jämna perfekta talet som kan skrivas som summan av två positiva heltalskuber (Gallardo 2010).
• Summan av reciprokerna av delarna av ett perfekt tal N är alltid 2.
• Antalet delare av ett perfekt tal N (jämnt eller udda) är alltid jämnt, eftersom N inte kan vara en kvadrat.
• Jämna perfekta tal är inte trapetstal, det vill säga de kan inte skrivas som differensen av två positiva triangeltal som inte kommer efter varandra.
• Antalet perfekta tal mindre än n är $o({\sqrt {n}})$.
• Alla kända jämna perfekta tal slutar med 6 eller 28 i bas 10.

Olösta problem

Det finns flera olösta gåtor angående de perfekta talen:

• Man vet inte om det finns oändligt många perfekta tal.
• Hittills har alla perfekta tal man hittat slutat på 6 eller 28 (se uppställningen ovan). Men ingen har lyckats visa om alla perfekta tal gör det.
• Hittills har man inte lyckats hitta något udda perfekt tal. Men det är inte bevisat att det inte finns några sådana.

Se även

• Lista över perfekta tal
• Sigmafunktionen
• Lista över tal

Källor

• Euclid, Elements, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website for a translation and discussion of this proposition and its proof.
• H.-J. Kanold, "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 183 (1941), pp. 98–109.
• R. Steuerwald, "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl", S.-B. Bayer. Akad. Wiss., 1937, pp. 69–72.

Vidare läsning

• Nankar, M.L.: "History of perfect numbers," Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
• Hagis, P.: "A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers", Mathematics of Computation 27, (1973), 951–953.
• Riele, H.J.J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
• Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. sid. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7 

Externa länkar

• En lista över kända perfekta tal
• Om den eventuella existensen av udda perfekta tal (engelska)

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.