Bandmatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En bandmatris är inom matematik en gles matris sådan att endast elementen i ett band runt huvuddiagonalen är nollskilda; bandet utgörs av ett antal diagonaler ovanför respektive nedanför huvuddiagonalen.

Mer strikt uttryckt kan man säga att för en n×n-bandmatris med elementen  a_{ij} ska det finnas två positiva heltal  k_1 och  k_2 så att

 a_{ij} = 0 ~~ \mathrm{om} ~~ j < i - k_1 ~~ \mathrm{eller} ~~ j \geq i + k_2

 k_1 brukar kallas vänsterbandbredd och  k_2 för högerbandbredd. Bandbredden för matrisen är antalet diagonaler där det finns nollskillda element,  k_1+k_2+1 .

Specialfall inträffar då  k_1 = k_2 = 0 då man får en diagonalmatris, då  k_1=k_2=1 då man får en tridiagonal matris, och då  k_1 = 0 och  k_2 = n - 1 då man får en nedåt triangulär matris. En uppåt triangulär matris fås om  k_1 = n - 1 och  k_2 = 0 .

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Inom beräkningsvetenskap fås ofta bandmatriser vid användning av finita elementmetoden.

Lagring[redigera | redigera wikitext]

Då bandmatriser innehåller mest nollor kan man i datorprogram spara lagringsutrymme om man endast lagrar bandet, exempelvis kan en 5 × 5-tridiagonal matris


\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & 0 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 0 \\
0 & a_{32} & a_{33} & a_{34} & 0 \\
0 & 0 & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\
0 & 0 & 0 & a_{54} & a_{55}
\end{pmatrix}

lagras som en 5 × 3-matris


\begin{pmatrix}
0 & a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{43} & a_{44} & a_{45} \\
a_{54} & a_{55} & 0
\end{pmatrix}