Primtal

11 är ett primtal, men inte 12.

Ett primtal är ett naturligt tal, som är större än 1 och som inte har några andra positiva delare än 1 och talet självt.

Den grekiske matematikern Euklides visade på 300-talet f.Kr., med Euklides sats, att det finns ett oändligt antal primtal.

Egenskaper

Till exempel är 7, 29 och 127 primtal, det först- och sistnämnda av typen Mersenneprimtal. Däremot är inte 45 = 3 · 3 · 5, 91 = 7 · 13 och 2047 = 23 · 89 primtal. Det sistnämnda är ett Mersennetal, men inte ett Mersenneprimtal.

Det förekommer att två på varandra följande udda tal är primtal, exempelvis 11 och 13, 1949 och 1951. Dessa tal kallas primtalstvillingar. Det är inte känt om det finns oändligt många sådana par. De enda primtalstrillingarna är 3, 5 och 7 och primtalsfyrlingar eller större existerar inte. Primtalen och deras fördelning är ett område som alltid intresserat matematiker. Primtal är av stor betydelse inom talteori.

De primtal som är mindre än 100 är (talföljd A000040 i OEIS):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

2 är det enda jämna primtalet eftersom alla jämna tal är delbara med 2. 5 är det enda primtal som har 5 som slutsiffra i talbas 10, eftersom alla tal vars slutsiffra är 5 är delbara med 5.

Tvåkvadratsteoremet

Primtalen kan, om primtalet 2 utelämnas, delas upp i två klasser: de som kan skrivas på formen 4n + 1 och de som kan skrivas på formen 4n + 3. De förstnämnda är 5, 13, 17, 29, 37, … och de senare är 3, 7, 11, 19, 23, …. Alla primtal i den förra klassen, men inget i den senare kan uttryckas som summan av två heltalskvadrater.

Sambandet upptäcktes av Fermat, som nämnde det i ett brev till matematikern Mersenne 1640. Tvåkvadratsteoremet har av den engelske matematikern Hardy klassats som ett av matematikens vackraste och kan formuleras som:

Det udda primtalet p kan skrivas p = x² + y² där x och y är heltal, om och endast om p = 4n + 1. Exempel:

$5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 61=5^{2}+6^{2},\quad 97=4^{2}+9^{2},\quad 641=4^{2}+25^{2},\quad 1949=10^{2}+43^{2}.$

Primtalsbestämning

För att hitta primtal mellan 1 och ett godtyckligt tal n, finns en enkel och relativt effektiv metod som kallas för Eratosthenes såll. Denna teknik kan även användas för att avgöra om ett visst givet tal är ett primtal.

En effektiv men primitiv metod för att avgöra om ett tal $n$ är ett primtal, är att dividera detta med alla hela tal, från 2 till och med det som är närmast mindre än eller lika med ${\sqrt {n}}$. Om därvid någon divisionsrest blir noll, är talet ej ett primtal och processen kan avbrytas.

En effektivare metod, som bygger på att man har tillgång till en primtalslista, är att dela talet $n$ med alla primtal från 2 till och med det primtal, som är mindre än eller lika med ${\sqrt {n}}$. Om $n$ inte är ett primtal kan det skrivas som produkten av två tal, vilka inte båda kan vara större än ${\sqrt {n}}$:

$n=a\cdot b\quad \Rightarrow \quad a\leq {\sqrt {n}}\quad eller\quad b\leq {\sqrt {n}}$

Exempel: 103

För att undersöka om ett tal är ett primtal räcker det således att pröva med alla primtal som är mindre än kvadratroten ur talet. Kvadratroten ur 103 är cirka 10 (10,14889157...) därför räcker det med att testa om 103 är delbart med något av talen 2, 3, 5 eller 7:

• Talet är inte delbart med två eftersom det är udda.
• Talet är inte delbart med 3 eftersom dess siffersumma (1+0+3) inte är delbar med 3.
• Talet är inte delbart med 5 eftersom dess slutsiffra inte är 0 eller 5.
• Talet är inte delbart med 7; 103 / 7 = 14 5/7.

Alltså är 103 ett primtal.

Metoden ovan är ganska effektiv för små tal, men är inte särskilt användbar inom modern kryptografi där man använder sig av primtal bestående av hundratals siffror. Med hjälp av en persondator kan man primtalstesta ett tal bestående av 100 siffror inom loppet av en sekund.

Effektivitet

Den primitiva metod som beskrivits ovan är mycket ineffektiv för stora tal. Antalet bitoperationer som krävs är åtminstone $c{\sqrt {n}}$ stycken, om man redan har tillgång till en primtalslista. Detta betyder att tidskomplexiteten är exponentiell.

Matematiker har länge letat efter ett effektivt primtalstest, särskilt efter ett med polynomiell tidskomplexitet. 1975 utvecklade Gary Miller en algoritm som testade om ett heltal var ett primtal med O((log n)⁵) bitoperationer, men då antog han att den ännu obevisade Riemannhypotesen stämde. (Se även ordo.)

1983 utvecklade Leonard Adleman, Carl Pomerance och Robert Rumely en algoritm med tidskomplexitet, (log n)^{c log log log n} som inte är polynomiell tid men nästan eftersom exponentens log log log n växer så långsamt.

2002 lade den indiska professorn Manindra Agrawal och hans två doktorander Neeraj Kayal och Nitin Saxena fram AKS-agoritmen, som är ett primtalstest som använder O((log n)¹²) bitoperationer. Deras algoritm förvånade många matematiker då ingen tidigare hittat ett test, som endast krävde polynomiell tid. Om man antar en vedertagen förmodan om tätheten hos Sophie Germainprimtal så använder deras algoritm endast O((log n)⁶) bitoperationer.

Det största kända primtalet

Det läggs ner mycket arbete på att försöka hitta allt större primtal. Det största primtal som hittills har hittats är 2^74 207 281 − 1 vilket är 22 338 618 siffror långt och hittades den 7 januari 2016 av projektet Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) och Curtis Cooper, som är matematikprofessor vid University of Central Missouri i USA. Talet är ett Mersenneprimtal, vilket innebär att det har formen 2ⁿ − 1.

Det största kända primtalet som inte är ett Mersenneprimtal är 19 249 × 2^13 018 586 + 1, vilket är 3 918 990 siffror långt och hittades i maj 2007. Talet är ett Prothprimtal, vilket innebär att det har formen k × 2ⁿ + 1.

Antalet primtal

Det finns oändligt många primtal, vilket bevisades av Euklides under 300-talet f.Kr. i Euklides sats.

Alternativt bevis

Leonhard Euler och Leopold Kronecker visade år 1876 att antalet primtal är knutet till den harmoniska serien genom sambandet

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}},$

där produkten beräknas över samtliga primtal.

Det faktum att den harmoniska serien är divergent innebär att produkten också är divergent, vilket den endast kan vara om den består av oändligt många faktorer, vilket innebär att antalet primtal är oändligt många.

Sambandet som Euler och Kronecker fann utgör startpunkten för det område inom matematiken som kallas analytisk talteori; man använder resultat från matematisk analys för att studera problem inom talteori. Detta är en oväntad koppling, eftersom talteori sysslar med heltal (diskreta objekt) och matematisk analys med reella- och komplexa tal (icke-diskreta objekt).

Ytterligare ett bevis att det finns oändligt många primtal:

Antag att n är det största primtalet. Men n! + 1 är inte delbart med något tal, som är mindre än n eller lika med n. Det vill säga, n var inte det största primtalet.

Olösta problem

Det finns fortfarande många olösta gåtor angående primtalen:

• Finns det oändligt många primtalstvillingar?
• Finns det oändligt många primtal på formen n²+1?
• Finns det alltid ett primtal mellan n² och (n + 1)²?
• Hur många primtal är Fermattal? (Hittills har bara 6 hittats.)
• Innehåller Fibonaccitalföljden oändligt många primtal?
• Finns det oändligt många Sophie Germainprimtal?

Tillämpningar

Under lång tid ansågs talteori i allmänhet och studiet av primtal i synnerhet som utmärkande för ren matematik, utan några tillämpningar utanför den egna teorin. Särskilt talteoretiker, som exempelvis G.H. Hardy, var stolta över att bedriva forskning som saknade betydelse för militären. Hans visioner raserades när det offentliggjordes att primtal användes som byggstenar inom öppen-nyckel-kryptering.

Primtal används även för hashtabeller och pseudoslumptalsgeneratorer. En pseudoslumptalssekvens kan användas för utplacering av dubbar på ett dubbdäck för att undvika resonansfenomen.

Olika grupper av primtal

Allt efter egenskaper kan primtal kategoriseras i grupper, exempelvis:

• Primtalstvillingar, det vill säga två primtal som ligger så nära varandra som möjligt (bortsett från exemplet med 2 och 3 innebär det att vara åtskilt av två, exempelvis 17 och 19 eller 149 och 151).
• Primtalssexlingar - Primtal som åtskiljs med 6
• Mersenneprimtal, primtal av formen 2ⁿ - 1.
• Prothprimtal, primtal av formen k · 2ⁿ + 1.
• Fermatprimtal, primtal av formen 2²ⁿ + 1.
• Pythagoreiska primtal, primtal av formen 4n + 1.
• Fakultetsprimtal, primtal av formen n! ± 1.
• Sophie Germainprimtal, primtal p där 2p + 1 också är primtal.

Av mer underhållande karaktär är de så kallade "James Bondprimtal", som är primtal som slutar med 007. De fyra första är 7 (007), 4007, 6007 och 9007.

Se även

• Aritmetikens fundamentalsats
• Bonses olikhet
• Eratosthenes såll (enkel algoritm för att hitta primtal)
• Formler för primtal
• Gaussiska primtal
• Irreducibelt element
• Mersenneprimtal
• Perfekt tal
• Primelement
• Primorial
• Primtalsfunktionen
• Primtalssatsen
• Primtalstvilling
• Relativt prima
• Ulams spiral
• Kategori:Primtal

Litteratur

• Riesel, Hans, En bok om primtal, Lund 1968
• Riesel, Hans. "The Law of Quadratic Reciprocity." Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 279-281, 1994.

Externa länkar

• Lista över primtal på Wikibooks.
  Böcker
• Lista över primfaktorer på Wikibooks.
  Böcker
• http://mathworld.wolfram.com/topics/PrimeNumbers.html
• http://www2.math.su.se/matematik/exempel/tal/primtal.html
• Geometry of prime numbers and perfect numbers
• http://primes.utm.edu/
• Lista över stora möjliga primtal
• http://www.utm.edu/research/primes/notes/proofs/infinite/.

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.