Bas (linjär algebra)

En mängd $\{ v_i \} _{i=0} ^{n-1}$ säges vara en bas för ett linjärt rum (eller vektorrum) $V$ om den är linjärt oberoende och spänner upp $V$, dvs varje element i $V$ kan uttryckas som en linjärkombination av element ur basen.

En basvektor $\mathbf{v}$ i ett vektorrum V med dimension d, är en vektor i den mängd av d stycken vektorer som bildar en bas för rummet. Basvektorerna är linjärt oberoende.

Baser av stor betydelse är de som är ortogonala eller ortonormerade.

Hur man visar att en mängd vektorer är en bas

För detta exempel betrakta vektorerna (1,1) och (-1,2), som vi vill visa är en bas för R². Vi skall visa att de är linjärt oberoende, och att de spänner upp hela rummet. Det finns många sätt att göra detta.

Med hjälp av dimensionssatsen

Enklast ser vi att eftersom (-1,2) inte är en multipel av (1,1), och eftersom (1,1) inte är nollvektorn, är de linjärt oberoende, och därmed också en bas för R² eftersom vi vet att dimensionen är 2. Detta är en konsekvens av dimensionssatsen.

Med matrisinvers, determinanter

Beräkna determinanten

$\det\begin{bmatrix}1&-1\\1&2\end{bmatrix}=3\neq0.$

Eftersom matrisen ovan har en determinant som inte är 0, bildar kolumnvektorerna en bas för R².

En tredje metod

Vi börjar med att visa att vektorerna är linjärt oberoende. Antag att det finns skalärer a och b, som uppfyller ekvationen

$a(1,1)+b(-1,2)=(0,0). \,$

Det gäller alltså att:

$(a-b,a+2b)=(0,0) \,$

  alltså är  

$a-b=0 \;$

  och  

$a+2b=0. \,$

Subtraherar vi nu den första ekvationen från den andra får vi:

$3b=0 \;$

  så  

$b=0. \,$

Och sedan från den första ekvationen att:

$a=0. \,$

Vi visar nu att hela R² spänns upp. Vi låter (a,b) beteckna en godtycklig vektor i rummet, och visar att det finns skalärer x och y som uppfyller att:

$x(1,1)+y(-1,2)=(a,b). \,$

Vi måste alltså lösa ekvationssystemet:

$x-y=a \,$

$x+2y=b. \,$

Drar vi den första ekvationen från den andra får vi:

$3y=b-a, \,$

          och sen

$y=(b-a)/3, \,$

        och slutligen

$x=y+a=((b-a)/3)+a. \,$

Relaterade begrepp

Hamelbas

En Hamelbas används i samband med oändligdimensionella vektorrum och då framförallt för att skilja isär olika basbegrepp för oändligtdimensionella vektorrum, däribland ortonormerade baser och Schauderbaser. Dessa basbegrepp tillåter att man tar oändligt många vektorer i linjärkombinationer, vilket inte Hamelbaser gör.

Låt $X$ vara ett vektorrum och $A\subseteq X$ en linjärt oberoende delmängd. Denna delmängd säges vara en Hamelbas för $X$ om dess linjära spann utgör mängden $X$, det vill säga om

$\operatorname{span}(A) = X.$

Med hjälp av Zorns lemma kan man visa att varje vektorrum $X \neq \{0\}$ har en Hamelbas.