Kaprekartal

Ej att förväxla med Kaprekars konstant.

Kaprekartal för en given talbas, är ett icke-negativt tal vars kvadrat i den basen kan delas upp i två delar som summerar till det ursprungliga talet igen. Till exempel är 45 ett Kaprekartal eftersom 45² = 2025 och 20 + 25 = 45. Kaprekartal är uppkallade efter matematikern D. R. Kaprekar.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt X vara ett icke-negativt heltal. X är ett Kaprekartal i basen b om det finns icke-negativa heltal n, A och positivt tal B som uppfyller:

X² = Abⁿ + B, där 0 < B < bⁿ

X = A + B

Observera att X även är ett Kaprekartal i basen bⁿ för detta specifika urval för n. Mer snävt kan vi fastställa mängden K(N) för ett givet heltal N som en mängd heltal X där^[1]

X² = AN + B, där 0 < B < N

X = A + B

Varje Kaprekartal i basen n inräknas i en av mängderna K(b), K(b²), K(b³), …

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel:

Låt det valda (förmodade) heltalet = 297 (3 siffror).
Talets (297:s) kvadrat = 88209.
Dess två delar är ⇒ 88, 209 (2 respektive 3 siffror).
Summan av de två delarna = 88 + 209 = 297.
Således är talet (297) ett Kaprekartal.

297 är ett Kaprekartal i basen 10 eftersom 297² = 88209, som kan delas upp i 88 och 209, och 88 + 209 = 297. Av konvention får den andra delen inledas med siffran 0, men talet måste vara positivt. Till exempel är 999 i Kaprekartal i basen 10 eftersom 999² = 998001, som kan delas upp i 998 och 001, och 998 + 001 = 999. Men 100 är inte ett Kaprekartal, även om 100² = 10000 och 100 + 00 = 100, eftersom den andra delen inte avslutas med en positiv siffra.

De första Kaprekartal i basen 10 är:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, … (talföljd A006886 i OEIS)

I synnerhet är 9, 99, 999, … (alltså alla tal som endast består av nior) Kaprekartal. Mer allmänt, för någon bas b finns det oändligt antal Kaprekartal, inklusive alla tal på formen bⁿ − 1.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Det bevisades år 2000^[1] att Kaprekartal för någon bas b är i bijektion med enhetsdelarna av bⁿ − 1. Låt Inv(a,b) beteckna den multiplikativa inversen av a modulo b, nämligen det minsta positiva heltal m sådant att $am\equiv 1{\pmod {b}}$ $am\equiv 1{\pmod {b}}$ . Då ingår ett tal X i mängden K(N) (definierad ovan) om och endast om X = d Inv(d, (N−1)/d) för någon enhetsdelare d av N − 1. I synnerhet
- För något X i K(N), N − X tillhör K(N).
- I binära talsystemet är alla jämna perfekta tal även Kaprekartal.