Centrerat kvadrattal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Centrerat kvadrattal är ett centrerat polygontal som representerar en kvadrat med en punkt i mitten, och som byggs vidare av punkter kring den.

Uppbyggnaden av de första centrerade kvadrattalen visas nedan:

GrayDot.svg     GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
           


Förhållanden med andra figurtal[redigera | redigera wikitext]

Det n:te centrerade kvadrattalet ges av formeln

Med andra ord är ett centrerat kvadrattal summan av två på varandra följande kvadrattal. Följande mönster visar denna formel:

GrayDot.svg     RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
           

Formeln kan också uttryckas som

det vill säga, n:te centrerade kvadrattalet är hälften av n:te udda kvadrattal plus ett, som illustreras nedan:

GrayDot.svg     GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
    GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
    GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
           

Liksom alla centrerade polygontal kan centrerade kvadrattal även uttryckas i termer av triangeltal:

där

är det n:te triangeltalet. Detta kan lätt ses genom att ta bort punkten i mitten och dela resten av figuren i fyra trianglar, som nedan:

BlackDot.svg     RedDot.svg
GrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svg
RedDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
           

Skillnaden mellan två på varandra följande oktaedertal är ett centrerat kvadrattal.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

De första centrerade kvadrattalen är:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, … (talföljd A001844 i OEIS)

Alla centrerade kvadrattal är udda och i basen 10 följer de första siffrorna mönstret 1-5-3-5-1.

Alla centrerade kvadrattal och deras delare har en rest av 1 när man dividerar med fyra. Därav slutar alla centrerade kvadrattal och deras delare med siffrorna 1 eller 5 i basen 6, 8 och 12.

Centrerade kvadratprimtal[redigera | redigera wikitext]

Ett centrerat kvadratprimtal är ett centrerat kvadrattal som är primtal. Till skillnad från icke-centrerade kvadrattal, som aldrig är primtal, är flera av de centrerade kvadrattalen primtal.

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, … (talföljd A027862 i OEIS)

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Centered square number, 5 juli 2013.
  • Alfred, U. (1962), ”n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares”, Mathematics Magazine 35 (3): 155–164 .
  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 .
  • Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers, New York: Dover, s. 125 .
  • Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, s. 41–42, ISBN 0-387-97993-X .
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.