Kvadrattriangulärt tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kvadrattriangulärt tal (eller triangulärt kvadrattal) är ett tal som både är triangeltal och kvadrattal. Det finns oändligt många kvadrattriangulära tal.

De första kvadrattriangulära talen är:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625 … (talföljd A001110 i OEIS)

Explicita formler[redigera | redigera wikitext]

Skriv Nk för det k:te kvadrattriangulära talet, och skriv sk och tk för sidorna av motsvarande kvadrat och triangel, så att

Serierna Nk, sk och tk är OEIS-talföljderna A001110, A001109, och A001108.

År 1778 fastställde Leonhard Euler den explicita formeln[1][2]:12–13

Andra explicita formler (som ges genom att utöka denna formel) som kan vara praktiska är

Motsvarande explicita formler för sk och tk är [2]:13

och

Pells ekvation[redigera | redigera wikitext]

Problemet med att hitta kvadrattriangulära tal reducerar till Pells ekvation på följande sätt:[3] Varje triangeltal är av formen t(t + 1)/2. Därför söker vi heltal t, s, så att

Med lite algebra blir det

genom att x = 2t + 1 och y = 2s, får vi den Diofantiska ekvationen

vilket är en förekomst av Pells ekvation. Denna speciella ekvation löses genom Pelltalen Pk som[4]

och därav ges alla lösningar av

Det finns många identiteter av Pelltal, och dessa omvandlas till identiteter av de kvadrattriangulära talen.

Differensekvationer[redigera | redigera wikitext]

Det finns differensekvationer för kvadrattriangulära tal, liksom för sidorna i kvadraten och triangeln. Vi har[5]:(12)

Vi har[1][2]:13

Andra karakteriseringar[redigera | redigera wikitext]

Alla kvadrattriangulära tal har formen b2c2, där b / c är en konvergent till kedjebråket för kvadratroten ur 2.[6]

A. V. Sylwester gav ett kort bevis på att det finns oändligt många kvadrattriangulära tal, nämligen:[7]

Om triangeltalet n(n+1)/2 är kvadratiskt, då är det nästa större triangeltalet

Vi vet att denna lösning måste vara en kvadrat, eftersom det är en produkt av tre kvadrater: 2^2 (av exponenten), (n(n+1))/2 (det n:te triangeltalet, av bevis förutsättande) och (2n+1)^2 (av exponenten). Produkten av alla tal som är kvadrater kommer att leda till en annan kvadrat, vilket bäst kan bevisas genom att geometriskt visualisera multiplikation av en NxN-låda med en MxM-låda, vilket görs genom att placera en MxM-låda inuti varje cell av NxN-lådan, som ger en annan kvadratisk lösning.

Den genererande funktionen för de kvadrattriangulära talen är:[8]

Numeriska data[redigera | redigera wikitext]

Eftersom k blir större så är förhållandet tk / sk och förhållandet mellan successiva kvadrattriangulära tal

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Square triangular number, 20 oktober 2013.
  1. ^ [a b] Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. "2". Providence: American Mathematical Society. sid. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7 
  2. ^ [a b c] Euler, Leonhard (1813). ”Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)” (på Latin). Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4: sid. 3–17. http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E739.html. Läst 11 maj 2009. ”According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.”. 
  3. ^ Barbeau, Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. sid. 16–17. ISBN 978-0-387-95529-2. http://books.google.com/?id=FtoFImV5BKMC&pg=PA16. Läst 10 maj 2009 
  4. ^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (5th). Oxford University Press. sid. 210. ISBN 0-19-853171-0. ”Theorem 244” 
  5. ^ Weisstein, Eric W., "Square Triangular Number", MathWorld. (engelska)
  6. ^ Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications. sid. 59. ISBN 978-0-486-25357-2 
  7. ^ Pietenpol, J. L.; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M Warten (February 1962). ”Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers”. American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 69 (2): sid. 168–169. ISSN 00029890. 
  8. ^ Plouffe, Simon (August 1992). ”1031 Generating Functions” (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. sid. A.129. http://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/FonctionsGeneratrices.pdf. Läst 11 maj 2009. 

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]