Jacobsthaltal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Jacobsthaltalen , uppkallade efter den tyska matematikern Ernst Jacobsthal, en talföljd relaterad till Fibonaccitalen och Lucastalen.

Jacobsthaltalen definieras med hjälp av differensekvationen

 
  J_n =  
    \begin{cases}
      0                     & \mbox{if } n = 0; \\
      1                     & \mbox{if } n = 1; \\
      J_{n-1} + 2J_{n-2}    & \mbox{if } n > 1. \\
    \end{cases}

Nästa Jacobsthaltalet ges av formeln

 J_{n+1} = 2J_n + (-1)^n \, ,

eller av

 J_{n+1} = 2^n - J_n. \,

Jacobsthaltalen kan skrivas i sluten form som


  J_n = \frac{2^n - (-1)^n}
    3.

Jacobsthaltalens genererande funktion är

\frac{x}{(1+x)(1-2x)}.

De första Jacobsthaltalen är:

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, 178956971, 357913941, 715827883, 1431655765, 2863311531, … (talföljd A001045 i OEIS)

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Jacobsthal number, 26 december 2013.