Stjärntal

Stjärntal är ett centrerat figurtal som representerar en centrerad hexagram (sexuddig stjärna), till exempel den som Kinaschack spelas på.

1		13		37

Det n:te stjärntalet ges av formeln S_n = 6n(n − 1) + 1.

De 43 första stjärntalen är:

1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1093, 1261, 1441, 1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537, 4873, 5221, 5581, 5953, 6337, 6733, 7141, 7561, 7993, 8437, 8893, 9361, 9841, 10333, 10837, … (talföljd A003154 i OEIS)

Den digitala roten av ett stjärntal är alltid 1 eller 4, och fortgår i följden 1, 4, 1. De två sista siffrorna i ett stjärntal i basen 10 är alltid 01, 13, 21, 33, 37, 41, 53, 61, 73, 81 eller 93.

Ett unikt stjärntal är 35113, eftersom dess primtalsfaktorer (det vill säga 13, 37 och 73) också är tre på varandra följande stjärntal.

Relation till andra typer av tal

Geometriskt består det n:te stjärntalet av en central punkt och 12 kopior av det (n − 1):te triangeltalet – vilket gör det numeriskt ekvivalent med det n:te centrerade dodekagontalet, men där ordningarna ordnas på olika sätt.

Oändligt många stjärntal är också triangeltal, de fyra första är S₁ = 1 = T₁, S₇ = 253 = T₂₂, S₉₁ = 49141 = T₃₁₃ och S₁₂₆₁ = 9533161 = T₄₃₆₆ (talföljd A156712 i OEIS).

Oändligt många stjärntal är också kvadrattal, de fyra första är S₁ = 1², S₅ = 121 = 11², S₄₅ = 11881 = 109² och S₄₄₁ = 1164241 = 1079² (talföljd A054318 i OEIS).

Oändligt många stjärntal är också primtal. De första stjärnprimtalen är:

13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937, 1093, 2053, 2281, 2521, 3037, 3313, 5581, 5953, 6337, 6733, 7561, 7993, 8893, 10333, 10837, 11353, 12421, 12973, 13537, 15913, 18481, 20533, 21961, 25741, 27337, 32413, 33301, 36037, 36973, 42841, … (talföljd A083577 i OEIS)

Termen "stjärntal" används ibland för oktogontal.^{[källa behövs]}

Tillämpningar

Antalet av de tretton kolonierna i USA, 13, är ett stjärntal. Detta användes i konstruktionen av USA:s stora sigill, framsidan som har en sexuddig stjärna som bildats av ett arrangemang av 13 mindre stjärnor.

Se även

Centrerat hexagontal

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Star number, 22 december 2013.